ホッジスター作用素の二つの定義とその関係

前回の記事では、nベクトルの特別な要素σ～とσに着目して内積やホッジ双対を考察した。
今回の記事では、ホッジスター作用素の定義は二種類あるが、互いにsgn(g)倍の違いしかないことを見る。本によって定義が異なっていても相互の関連性が分かると、それらを読みやすくなる。

sgn(g)、σ～、σなどの記号の意味は前回と同じとする。

ホッジスター作用素の２つの定義

定義1
ベクトル空間∧^pVから∧^n-pVへの作用であるホッジスター作用素1を次の式で定義し、記号*で表す。

ただし*λは、与えられたλ∈∧^pVに対して、すべてのμ∈∧^n-pVでこの式を成り立たせる∧^n-pVの要素である。

定義2
ベクトル空間∧^pVから∧^n-pVへの作用であるホッジスター作用素2を次の式で定義し、記号★で表す。

ただし★λは、与えられたλ∈∧^pVに対して、すべてのμ∈∧^n-pVでこの式を成り立たせる∧^n-pVの要素である。

ちなみに上記の定義1と定義2でλ∈∧^pV*としたならμ∈∧^n-pV*であり、そのときはσ～∈∧ⁿVでなくσ∈∧ⁿV*を使う。

２つの定義の関係

以下で*と★が

をみたすことを示す。(定義１と定義２でσ～は同じ値とする)
その際、証明なしで

を使う。


(証明)
定義2より

ここでτ=★λとおいて、定義1を使うと右辺は

よって

である。これが任意のμについて成り立つので、内積の対称性と非退化性より

である。
両辺に*を作用させると左辺は*λで、右辺は*の線形性と上記の**の作用結果より

である。

以上より

すなわち

である。(証明終わり)

ここから分かることは、計量テンソルの行列表現[g_ij]の行列式が正のとき(特に正定値内積のとき)は*も★も同じ作用になるということである。
そして、計量テンソルの行列表現[g_ij]の行列式が負のときでも、sgn(g)倍すれば他方の定義の場合にすぐ変換できる。

具体例1

計量テンソルが

となるように二次元ベクトル空間に内積を入れる。sgn(g)=-1なので

は

となり、*の作用は

のようになり、★の作用は

のようになる。
このように、sgn(g)<0のときは*と★の作用結果はsgn(g)だけ異なる。

具体例2

前回の記事より

なので上記の関係性より

σについても同様に

が成り立つ。

具体例3

前回の記事より

なので、やはり上記の関係を使うことで

同様にσについて

が成り立つ。