以下でクリストッフェル記号の計算を行う。添字にはアインシュタインの規約を適用するものとする。
クリストッフェル記号の定義
この項目の流れは「テンソル解析(田代嘉宏著)」p.205を参考にしている。点P(u1,u2) と点P'(u1+du1,u2+du2) における自然基底 { e1(P), e2(P) } と { e1(P'), e2(P') } は一般には異なるため、
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXZZ4sX6jDtJdXlzaKc7V81e6FFvZBgoDsQFIRNNOfvg0O2kwlohTfFj9V9oKFKq3nT6wZ_fKPyUVJtABi_AGFZW3eb-MprIgHOvBLD3liEmwt6QrEc4saQIBXJuwZGGbEY1UCY_1UCEg/s400/2sphere4-0-0.png)
とおく。このベクトル dTS2ej (ただし j = 1, 2) をPにおける自然基底で表す。
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKcvhq3aZ2B3whaiZgKimJWYVpGJuZkZa0wZgpiYW0luYLhOp7gYVorFf0sHEHR4kQemPK5_z5sa3y7CvVu6V0mhWx1SCfVGRZJbYmy2qfTES0mLWtuF15uPeMmvdYo_TbAOG8GZgeAFw/s400/2sphere4-0-2.png)
ここで、係数 ωij を duk により、
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgueMgjPPLRC0foSZWa7eQo86ybnO05vd9Gz9EmlTGsRVBCrr3x7qfxEJaSR_GzIlxEEb5weH279qXgta2p1fEBlP72WIGeJ0W9FiU4u7zeChcT2E1EF0IlN74qDYYRLgVQxWCLcgiEx8g/s400/2sphere4-0-4.png)
とおく。この係数 Γijk(iとjは対称) がクリストッフェル記号である。
クリストッフェル記号の計算
クリストッフェル記号と計量テンソル gij には、![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjr5lWuyRz2Sbm_OxXw5rH_nRf7aiqsQNaY-UiIbnWHFGjEjhT-sWd7Rww197W2I0hQzlRNJOPWl6ijNUj6xyGR0nCDlvgFm8KKT1CoV5uGZI6kfawvS5nj2WhDJtNx5gCCdrfN1dRHZ5o/s400/2sphere3-00-00.png)
の関係が成り立つ(「テンソル解析」p.205-206またはWikipedia「クリストッフェル記号」を参照)。これを使って2次元球面におけるクリストッフェル記号を計算する。
i = 1 とすると以下のように計算を進められる。このとき gij = 0 ( i ≠ j のとき) であることから、 l = i = 1 の項だけが残ることに気をつける。
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgewzFkSGiIEH70e3A535F6frdDn0YNe5w_4gDj_9zw9FBcB5BUPBJ4G6HZj_406WiphHNTQFXDoMT_wxrdA9doh588gWvpBx54wP-7NZ6pc7NeQaJs4NnxOiT5rO23L1Ww-ZUBufvf8dA/s400/2sphere3-00-02.png)
これを行列表示して前回計算した gij を使うと、
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCloeHIEHcbyNBDie6dRIa6bDssf_8zoyK4jsXbeiCQedBYfTGMk0axd_uWVmaViVXrxmGziWvGOBNooFpjSC-N1pHAXlLJF0ZVLJI3MfxZOZ_oP37xp_IdrcRvOmVtMz6t4FYeESeyyc/s640/2sphere3-00-04.png)
となる。同様に i = 2 の場合についても計算すると、
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_FF1L1l5ru1t2lVpLD_D5Rm4IPznZNyClOA0Qsc3TcGz0adIxvvOHUeKs_OgghU5pmxwVVdgE6hvxJ5bdg9GMChfmUDQIUiKlVrdsZRAS1KreMoCRTkx2Dt_ZZFLvgcepHMrQ9vIhC70/s400/2sphere3-00-06.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrTKAkmIo2BReLiPB-A8RO7qkO-p1LBCq9tOEzeRLfHFSKMcvO8U7xHN6ZwKMOMGz-s-ndEzJRuCKBpciBdEff_KkKQspvd7x7gTfE-pqK-8AZ0SoslRTpxJRWa8WcfGe7PAPVtjx6G7E/s640/2sphere3-00-08.png)
以上で2次元球面におけるクリストッフェル記号を計算できた。
自然基底の微小変化
2次元球面のクリストッフェル記号が分かったため、それを使うと「クリストッフェル記号の定義」にある dTS2ej (ただし j = 1, 2) を以下のように計算することができる。![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeb1R9SLau3XVR8mauJ_PovjM2uwgYExBWXR1VcoaIMah2iViitVnP6-yNYhktOytNIyKFxjO0JuEKUgV_Sw45BmPQH5DqETR8Tb7wFSFP5ioY4W60zXwnFjNVQ8zijyhkV-Ui7DGRtFU/s400/2sphere3-00-10.png)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAjol-BEPjwwL6jC8epesgB0ObcIK5xmKXF8FkZxi1Enex_sMZp1qiIoGAEUYJchR1vE6NNV4ntwSwxQiGOtPD7jNl-eqnznKwJf69ZjA98r212-nBdFYNy7_MUZBb_PanpTtBvtBMH0U/s400/2sphere3-00-12.png)
この dTS2e1 の結果から次のことが分かる。e1の変化は、θが0とπに近いときφの変化によってe2方向に大きい。
また、dTS2e2 の結果からは次のことが分かる。e2は、 θ = π/4, 3π/4 のときφの変化でe1方向にずれる。またθが0とπに近いときθの変化でe2方向に大きく変化する。
次はリーマン曲率テンソル、リッチテンソル、リッチスカラーの2次元球面における計算を行ってみたい。
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