2015年2月20日金曜日

pベクトルの内積とその計算例

pベクトルの内積の定義

R を実数の集合とする。 V がベクトル空間で dimV = n とし、x, y ∈ V について非退化内積 < x | y > ∈ R が定義されているとする。 p = 1, ..., n について ∧p V の要素をpベクトル(p-vector, multivector)という。 ∧p V 上の内積 <・|・>p を u1 , ... , up , v1 , ... , vp ∈ V について、以下の特徴をもつ双線形写像として定義する。

p = 0 のときは ∧0 V = R の基底 1 について、

 をみたし双線形になるよう、∧0 V 上の内積 <・|・>0 を定義する。

3次元ベクトル空間における計算例

例えばこの内積は ∧2 R3 の基底の場合に次のように計算できる。
ここで、< e1 | e1 > = < e2 | e2 > = < e3 | e3 > = 1 , < ei | ej > = 0 (i,j = 1,2,3 で i ≠ j) とする。


他の基底についても同様に計算ができ、まとめると次のようになる。
それ以外の基底については

この結果を使うと、一般に ∧2 R3 の元

の内積を計算できる。定義の双線形性から
のようになる。

n次元ベクトル空間における計算例

今度は V をn次元ベクトル空間とするとき、∧n V の基底について計算してみる。
V の内積 <・|・> は非退化内積とし、 V の基底 e1, ... , en を考える。この基底は、i = 1, ... , n について < ei | ei > = 1、 i≠j となる i,j = 1, ... , n について < ei | ej > = 0 をみたすものとする。 この基底のうち、< ei | ei > = 1 となる ei の個数を r、< ei | ei > = -1 となる ei 個数を s とする。
このとき、∧n V の基底 e1∧...∧en の内積は、
と計算できる。

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