2次元球面のクリストッフェル記号

R³における2次元球面S²の定義とパラメータ付けを前回と同じにする。パラメータの記号をu¹ = θ、u² = φとする。またS²の接平面をTS²とする。
以下でクリストッフェル記号の計算を行う。添字にはアインシュタインの規約を適用するものとする。

クリストッフェル記号の定義

この項目の流れは「テンソル解析(田代嘉宏著)」p.205を参考にしている。
点P(u¹,u²) と点P'(u¹+du¹,u²+du²) における自然基底 { e₁(P), e₂(P) } と { e₁(P'), e₂(P') } は一般には異なるため、



とおく。このベクトル d^TS2e_j (ただし j = 1, 2) をPにおける自然基底で表す。



ここで、係数 ωⁱ_j を du^k により、



とおく。この係数 Γⁱ_jk(iとjは対称) がクリストッフェル記号である。

クリストッフェル記号の計算

クリストッフェル記号と計量テンソル g_ij には、



の関係が成り立つ(「テンソル解析」p.205-206またはWikipedia「クリストッフェル記号」を参照)。これを使って2次元球面におけるクリストッフェル記号を計算する。
i = 1 とすると以下のように計算を進められる。このとき g^ij = 0 ( i ≠ j のとき) であることから、 l = i = 1 の項だけが残ることに気をつける。



これを行列表示して前回計算した g_ij を使うと、



となる。同様に i = 2 の場合についても計算すると、





以上で2次元球面におけるクリストッフェル記号を計算できた。

自然基底の微小変化

2次元球面のクリストッフェル記号が分かったため、それを使うと「クリストッフェル記号の定義」にある d^TS2e_j (ただし j = 1, 2) を以下のように計算することができる。





この　d^TS2e₁ の結果から次のことが分かる。e₁の変化は、θが0とπに近いときφの変化によってe₂方向に大きい。
また、d^TS2e₂ の結果からは次のことが分かる。e₂は、 θ = π/4, 3π/4 のときφの変化でe₁方向にずれる。またθが0とπに近いときθの変化でe₂方向に大きく変化する。

次はリーマン曲率テンソル、リッチテンソル、リッチスカラーの2次元球面における計算を行ってみたい。

2次元球面のガウス曲率

数学には面の曲がり具合を表現するガウス曲率がある。この記事では２次元球面におけるガウス曲率を計算してみる。

2次元球面の定義

3次元ユークリッド空間R³の2次元球面S²を
S² = { (x,y,z) ∈ R³ | x² + y² + z² = r² }
で定義する(rは定数)。
このときベクトルrを

としておく。さらにθ(0<θ<π)、φ(0<φ<2π)で

• x = r sinθ cosφ
• y = r sinθ sinφ
• z = r cosθ

のようにパラメータ付けされているとする。

自然基底

ベクトルrをθとφで偏微分したものをそれぞれe₁, e₂とすると、自然基底{e₁, e₂}は

となる。

計量テンソル

計量テンソルg_ijを行列表示した[g_ij]は、

ここでE,F,Gを

とする。また[g_ij]は対角行列なので対角成分の逆数をとると、逆行列[g^ij]が

と計算できる。

第二基本形式の係数

自然基底{e₁, e₂}がなす平面に垂直なベクトルnを、

とする。ベクトルrの二回微分は、

となる。これらを用いて第二基本形式 II ＝ L dθ² + 2M dθdφ + N dφ² の係数L,M,Nは、

と計算できる。

ガウス曲率

上で計算したE,F,G,L,M,Nによりガウス曲率Kは、

と計算できる。
球面の場合θとφによらない一定値になるようだ。

次は、2次元球面のクリストッフェル記号を計算してみる。
wxMaximaでのガウス曲率の計算もしてみた。