2次元球面のガウス曲率

数学には面の曲がり具合を表現するガウス曲率がある。この記事では２次元球面におけるガウス曲率を計算してみる。

2次元球面の定義

3次元ユークリッド空間R³の2次元球面S²を
S² = { (x,y,z) ∈ R³ | x² + y² + z² = r² }
で定義する(rは定数)。
このときベクトルrを

としておく。さらにθ(0<θ<π)、φ(0<φ<2π)で

• x = r sinθ cosφ
• y = r sinθ sinφ
• z = r cosθ

のようにパラメータ付けされているとする。

自然基底

ベクトルrをθとφで偏微分したものをそれぞれe₁, e₂とすると、自然基底{e₁, e₂}は

となる。

計量テンソル

計量テンソルg_ijを行列表示した[g_ij]は、

ここでE,F,Gを

とする。また[g_ij]は対角行列なので対角成分の逆数をとると、逆行列[g^ij]が

と計算できる。

第二基本形式の係数

自然基底{e₁, e₂}がなす平面に垂直なベクトルnを、

とする。ベクトルrの二回微分は、

となる。これらを用いて第二基本形式 II ＝ L dθ² + 2M dθdφ + N dφ² の係数L,M,Nは、

と計算できる。

ガウス曲率

上で計算したE,F,G,L,M,Nによりガウス曲率Kは、

と計算できる。
球面の場合θとφによらない一定値になるようだ。

次は、2次元球面のクリストッフェル記号を計算してみる。
wxMaximaでのガウス曲率の計算もしてみた。