2次元球面上のベクトル場の発散(div)

球面上のベクトル場の発散の公式

2次元球面S²上に自然基底{e₁, e₂}が張られているとする。(u¹,u²) = (θ,Φ)によるパラメータ付け、自然基底、計量テンソルはここと同じものとする。
S²上のベクトル場v = v¹e₁ + v²e₂(反変成分表示)に対して、発散divvは次の公式で計算できる。
ただしgは、計量テンソルの行列[g_ij]の行列式で、|g|はそれの絶対値である(gが零にならない理由)。

計算例

球面上のベクトル場vを反変成分表示で、
v = v¹e₁ + v²e₂ = sinθe₁ + 0e₂
とする。これは図で表すと次のようになる。

この図では、x軸、y軸、z軸それぞれの正の方向を赤、緑、青で表している(左手系)。

0<θ< πのためg>0となることから、√|g|は



のように計算できる。よって発散divvは、



である。

計算結果から分かること

球面のz>0部分を北半球、z<0部分を南半球、z=0の部分を赤道ということにする。
また、z軸と球面の交点でz>0の点を北極、z<0の点を南極ということにする。

北極に近づくにつれ、ベクトル場の湧き出しが大きくなる。南極に近づくにつれ、ベクトル場の吸い込みが大きくなる。赤道上のベクトル場は平行なので湧き出しも吸い込みもない。