内積の定義

R 上のベクトル空間 V において、<・|・> : V×V → R の関数が
x, y, z ∈ V で a ∈ R のとき

1. 双線形性

<ax + y | z> = a <x | z> + <y | z>
<x | ay + z> = a <x | y> + <x | z>

2. 対称性

<x | y> = <y | x>

をみたすとき、(この記事では)内積という。

非退化内積の定義

上記に加えて、

3. 非退化性

∀z [ <x | z> = 0 ] ⇒ x = 0

をみたす内積を非退化内積という。
つまり

「どんなベクトルと内積をとっても零になるベクトルは、零ベクトルしかない」

という性質をみたす内積である。

3. 非退化性の対偶

x ≠ 0 ⇒ ∃ z [ <x | z> ≠ 0 ]

ととらえてもよい。これはつまり、

「零ベクトルではない x との内積は、うまくベクトル z を選べば零にならないようにできる」

ということである。

定値内積の定義

1.双線形性と 2.対称性の他に、3.非退化性ではなく、

4. 定値性

<x | x> = 0 ⇒ x = 0

をみたす内積を、(この記事では)定値内積という。

正定値内積の定義

1.双線形性、 2.対称性、そして 4. 定値性の他に、

5. 正値性

<x | x> ≧ 0

をみたす内積を、正定値内積という。
この定義から直ちに、内積が正定値であれば、定値である。

定値内積は非退化内積であること

内積が「定値」ならば「非退化」であることを示す。

4. 「<x | x> = 0 ⇒ x = 0」と
3.の前件「∀z [ <x | z> = 0 ]」を仮定する。

3.の前件で特に z = x のとき、<x | z> = <x | x> = 0 である。
よって4.により、「x = 0」が成り立つ。これは3.の結論である。(証明終わり)

以上より、内積が正定値なら定値、よって非退化である。

非退化だが定値内積ではない例

4.定値性の否定は、∃x [ <x | x> = 0 かつ x ≠ 0 ]なので

「∀z [ <x | z> = 0 ] ⇒ x = 0」かつ ∃x [ <x | x> = 0 かつ x ≠ 0 ]

をみたす内積<・|・>が存在することを示せばよい。

例1

簡単のため dimV = 2 とし、定値ではない内積を
<e₁ | e₁> = 1 , <e₂ | e₂> = 0 (ここが定値ではない) , <e₁ | e₂> = <e₂ | e₁> = 1
で定義する。
x = x¹e₁ + x²e₁ , z = z¹e₁ + z²e₂ とすると、(反変ベクトルの成分は添字を上に、基底の添字は下につける慣習に倣った)

<x | z> = x¹z¹ + x¹z² + x²z¹ = (x¹ + x²)z¹ + x¹z² = 0

これが任意の z で成り立つには、( z¹ と z² についての恒等式なので)

x¹ + x² = 0 かつ x¹ = 0

すなわち x = 0
よって非退化である。

例2

定値内積だが正定値ではない例

例3

dimV = 2 とし、内積を
<e₁ | e₁> = -1 , <e₂ | e₂> = -1 , <e₁ | e₂> = <e₂ | e₁> = 0
で定義すると、

<x | x> = - (x¹)² - (x²)² ≦ 0

であり、この式から

<x | x> = 0 ⇒ x = 0

も分かるので定値だが正定値ではない。

非退化でない内積の例

ついでに、非退化ですらない内積の例を挙げてみる。

例4

dimV = 2 とし、内積を
<e₁ | e₁> = 1 , <e₂ | e₂> = <e₁ | e₂> = <e₂ | e₁> = 0
で定義すると、

<x | z> = x¹z¹ = 0

が任意の z で成り立つとき、 x¹ = 0 だが x² は 0 でなくてもよい。
よって

∀z [ <x | z> = 0 ] かつ x ≠ 0

をみたす x が存在する ( x = e₂ あるいは e₂ の実数倍) ことがいえたので、非退化でない。

(関連のある記事)
内積が非退化であると、計量テンソルに逆行列が存在することがいえる。それは次回。

吾輩の備忘録

2016年3月7日月曜日

正定値内積は非退化内積であること