この記事では、内積が定義されているベクトル空間Vの元と双対空間V*の元が対応することを述べる。その流れで、テンソル計算における添字の上げ下げの意味付けを行う。
そして、同様のことをpベクトルとその双対pベクトルに対しても行う。

1. ベクトルと双対ベクトルの対応について

ベクトル空間 V (ただし dimV = n) とその双対空間 V* を考える。 V に非退化内積< | >が定義されているとする。このとき、この内積により V と V* の間に定義される同型写像fを考える。すなわち次の式が任意の x ∊ V に対して成り立つように、ベクトル v ∊ V に対して双対ベクトル φ ∊ V* を定める。

このとき φ = f(v) となるfは線形である。
V の基底が {e₁,...,e_n} のとき、 v = e_i (i = 1, ... , n) に対して式(1)で定まるφを求めたい。
その前に例えば、v = e₁ ∈ V に対してのφを求めてみる。

とおくと(1)を x=e₁, ... , x=e_n について計算することにより、

...

よって

となり、

同様にして、v = e_i (i = 1, ... , n) に対しては

が成り立つ。よって任意の

に対して

これは v に対応するφを求めたいときは、v = Σvⁱe_i の e_i を Σg_ije^j に置き換えればよいことを示している。
ちなみにφの成分に関しては、φ = Σφ_je^j と上の式を見比べることで

であることが分かる。

　次に逆の対応を考察する。次の式が任意の ψ ∊ V* に対して成り立つように、双対ベクトル φ ∊ V* に対してベクトル v ∊ V を定める。

このとき v = h(φ) となるhは線形である。
上記と同様にして

が成り立ち、任意のφ = Σφ_je^jに対して

となる。ここからもやはりφに対応するvを求めたいときは、φ = Σφ_je^j の e^j を Σg^jie_i に置き換えることで簡単に求められる。
成分に関しても同様に

である。

　ゆえに h∘f = id (idは恒等写像)となり、 V の元と V* の元は一対一に対応する。
このfにより、Vの元であるベクトル(反変ベクトル)vとV*の元である双対ベクトル(共変ベクトル)φを同一視することがある。同一視しているときは、このブログではvの成分vⁱを反変成分、φの成分φ_jをv_jのように添字を下に表記して共変成分と呼んでいる。
このとき、上記の成分の変換則は

のように表記され、これを添え字の上げ下げという。

　さて、ここからは以上の流れをpベクトルに対して行っていくのだが、その前にpベクトルの双対性について述べる。

2. pベクトルにおける双対基底の定義

p=2,…,nについて ∧^pV を考える。これは _nC_p次元のベクトル空間となる。
v₁,...,v_p ∊ V で φ₁,...,φ_p ∊ V* のとき、
v₁∧...∧v_p ∊ ∧^pV と φ_1∧...∧φ₁ ∊ ∧^pV* の双対性を

で定義する。(記号・を ∧^pV の ∧^pV* への作用を表すために使っているので、注意が必要。ここの記号・は内積ではない。)

ベクトル空間Vの基底が {e₁,...,e_n} のとき、その双対基底 {e¹,...,eⁿ} は

で定義される。
これと上の定義を使うと、例えば dimV=3 において e₁∧e₂と e¹∧e²の場合は、

と計算できる。また、e₁∧e₃とe¹∧e²は

のように計算できる。
一般に dimV = n のpベクトルに対しては、 e_i₁∧...∧e_{i_p}とe^j₁∧...∧e^j_pで計算すると、
集合{i₁,...,i_p}と集合{j₁,...,j_p}の要素数がp個で {i₁,...,i_p} = {j₁,...,j_p} なら

それ以外の場合は

となる。

　p = 0 の場合は、∧⁰V ≅ R であり、これは _nC₀ = 1 次元のベクトル空間となる。
v ∊ ∧⁰V ≅ R とφ ∊ ∧⁰V* ≅ R の双対性を

のように、実数の積で定義する。
任意のφ = a ∈ R (a≠0) に対してφ・v = 1となるvの値(aの逆数)が存在する。
またこの値が0になるのは、φとvの少なくとも一方が0のときである。

3. pベクトルのその双対ベクトルの対応

1≦p≦nとする。

　∧^pVには非退化内積< | >_pが定義されているとする。
このとき、次の式が任意のx₁∧...∧x_p∊∧^pVに対して成り立つように、pベクトルv₁∧...∧v_p ∊ ∧^p Vに対して双対pベクトルφ ∊ ∧^p V*を定める。

このときv₁∧...∧v_pに対してφを定めるこの写像をfで表すと、fは線形である。
∧^p Vの基底は { e_i₁∧...∧e_{i_p} | 1≦i₁<...<i_p≦n } である。 v₁∧...∧v_p = e_i₁∧...∧e_{i_p}に対して式(4)で定まるφを求める。

とおく。
(この式における成分φ_{{j₁, ... ,j_p}}の添字{j₁, ... ,j_p}は、要素数がp個の集合である。そして集合{1,...,n}の部分集合でもある。このように要素数がp個の集合{j₁, ... ,j_p}に対して、基底のベクトルe^j₁∧...∧e^j_pが一対一で対応するため(例えば要素数がp個の集合{1,...,p}に対しては基底のベクトルe¹∧...∧e^pを対応させる。)、φの成分φ_{{j₁, ... ,j_p}}の添字に集合を用いている。)

そうすると(4)の左辺は

と計算できる。ちなみに、ここの式変形では最後にe_k₁∧...∧e_{k_p}とe^j₁∧...∧e^j_pの双対性を用いた。

一方(4)の右辺は、v₁∧...∧v_p = e_i₁∧...∧e_{i_p}の場合を考えているので

と計算できる。

よって、

となり v₁∧...∧v_p = e_i₁∧...∧e_{i_p}に対するφは

となり

である。これは、対応するφを求めたいときは、e_i₁をΣg_i₁j₁e^j₁に、...、e_{i_p}をΣg_{i_pj_p}e^j_pに置き換えればよいことを示している。

一般に任意の

に対して

がいえる。これも、vに対応するφを求めたいときは、e_i₁をΣg_i₁j₁e^j₁に、...、e_{i_p}をΣg_{i_pj_p}e^j_pに置き換えればよいことを示している。

ちなみに成分については

である。

　上記の逆作用についても同様のことを行うことで、

であるhが

のように作用することを示せる。

　以上のことからh∘f = id(idは恒等写像)となり、∧^p Vの元と∧^p V*の元は一対一に対応する。

ちなみに上記のことを特にp = nで考えると、

となる。ここのgは計量テンソルの行列表現[g_ij]の行列式である。

4. p=0の場合

最後にp=0の場合を考察する。

　∧⁰ V ≅ R にはここにあるような非退化内積 < | >₀が定義されているとする。
このとき、次の式が任意の x ∊ ∧⁰ V ≅ R に対して成り立つように、pベクトル(p=0なので実数) v ∊ ∧⁰ V ≅ R に対して双対pベクトル(p=0なので実数) φ ∊ ∧⁰ V* ≅ R を定める。