pベクトルの内積とその計算例

pベクトルの内積の定義

R を実数の集合とする。 V がベクトル空間で dimV = n とし、x, y ∈ V について非退化内積 < x | y > ∈ R が定義されているとする。 p = 1, ..., n について ∧^p V の要素をpベクトル(p-vector, multivector)という。 ∧^p V 上の内積 <・|・>_p を u₁ , ... , u_p , v₁ , ... , v_p ∈ V について、以下の特徴をもつ双線形写像として定義する。

p = 0 のときは ∧⁰ V = R の基底 1 について、

 をみたし双線形になるよう、∧⁰ V 上の内積 <・|・>₀ を定義する。

3次元ベクトル空間における計算例

例えばこの内積は ∧² R³ の基底の場合に次のように計算できる。
ここで、< e₁ | e₁ > = < e₂ | e₂ > = < e₃ | e₃ > = 1 , < e_i | e_j > = 0 (i,j = 1,2,3 で i ≠ j) とする。

他の基底についても同様に計算ができ、まとめると次のようになる。

それ以外の基底については

この結果を使うと、一般に ∧² R³ の元

の内積を計算できる。定義の双線形性から

のようになる。

n次元ベクトル空間における計算例

今度は V をn次元ベクトル空間とするとき、∧ⁿ V の基底について計算してみる。
V の内積 <・|・> は非退化内積とし、 V の基底 e₁, ... , e_n を考える。この基底は、i = 1, ... , n について < e_i | e_i > = 1、 i≠j となる i,j = 1, ... , n について < e_i | e_j > = 0 をみたすものとする。 この基底のうち、< e_i | e_i > = 1 となる e_i の個数を r、< e_i | e_i > = -1 となる e_i 個数を s とする。
このとき、∧ⁿ V の基底 e₁∧...∧e_n の内積は、

と計算できる。