ホッジスター作用素が線形であること

前回の記事で定義したホッジ双対の*を作用素としてみたとき、この作用素のことをホッジスター作用素という。今回の記事ではこれが線形であることを示す。もし線形であることがいえれば、基底についてホッジ双対を計算を使い、任意のベクトルについても計算がしやすくなるためである。

*(λ+μ) = *λ + *μであること

まずは和について示す。λ,μ∈Λ^pV、σ∈ΛⁿVのとき、任意のν∈Λ^n-pVについて

ここで、内積の双線形性とウェッジ積の多重線形性を使った。
σ≠0なので、

内積が非退化性(任意のuについて<z|u>=0ならばz=0となること)をもつので、

*(kλ) = k(*λ)であること

次はスカラー倍について示す。λ∈Λ^pV、k∈R、σ∈ΛⁿVのとき、任意のν∈Λ^n-pVについて

ここで、内積の双線形性とウェッジ積の多重線形性を使った。
σ≠0なので、

内積が非退化性をもつので、

　以上より、k, m ∈R とλ,μ∈Λ^pVについて *(kλ + mμ) = *(kλ) + *(mμ) = k(*λ) + m(*μ)がいえるため、ホッジスター作用素*は線形である。次回は２次元の任意のベクトルで実際に計算してみる。